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16 feb. 2015

DESCUBRIENDO... EL SISTEMA BINARIO. DESCIFRANDO ENIGMA Y LA PASCALINA

Como ya sabes en este blog mi propósito es ayudaros a descubrir por vosotros mismos las matemáticas. Y que mejor forma que empezar por jugar online al JUEGO DE LAS TARJETAS MÁGICAS de Perelman e intentar adivinar dónde está el truco. No importa lo que tardes. ¡Ten paciencia! El juego consiste en adivinar un número pensado por el espectador a partir de buscar dicho número en una serie de tarjetas.

Tal vez ya hayas descubierto el truco, o tal vez alguna pista o simplemente ya hayas desistido, pero, antes de desvelarlo, vamos con otro problema y quizás se te encienda la bombilla!:

Una bombilla puede estar en dos estados: encendida  o apagada.
 Si en lugar de una tengo 2 bombillas ¿En cuántos estados la puedo tener?
¿Y si tengo 3 bombillas, 4 bombillas...? 
Anota los números que has obtenido y observa la serie que forman. ¿Has encontrado la relación entre esos números? ¿Sabes cómo seguiría la serie? ¿Fácil, verdad?

La respuesta tiene que ver con el sistema que utilizan los ordenadores:


Resolvamos pues... 

2 bombillas pueden estar de 4 formas: una encendida y la otra apagada
                                                        una apagada y la otra encendida
                                                        una encendida y la otra encendida
                                                        una apagada y la otra apagada

3 bombillas pueden estar de 8 formas: encendida-apagada-apagada                   
                                                        apagada-encendida-encendida
                                                        encendida-encendida-apagada
                                                        apagada-apagada-encendida          
                                                        encendida-apagada-encendida
                                                        apagada-encendida-apagada
                                                        encendida-encendida-encendida
                                                        apagada-apagada-apagada
                 
4 bombillas pueden estar de 16 formas...

                 ...y así sucesivamente...obteniendo una serie de la que deducimos que cada número vale el doble que el anterior: 2,4,8,16,32,64...

En esta serie podemos deducir fácilmente que el número anterior al 2 es el 1 (lo hemos obtenido al dividir por 2) completando la serie:

                         1,2,4,8,16,32,64...

¿Sabrías representar la misma serie pero con potencias? 

Recuerda que estás descubriéndolo. No importa si te cuesta mucho y luego no lo aciertas.
Estás entrenando a tu cerebro a pensar matemáticamente al igual que cuando aprendes un idioma nuevo. No te desesperes. Con el paso del tiempo sin darte cuenta te costará menos.



Te habrás dado cuenta que ya estás empezando a conocer el sistema binario o en base2.
¿Por qué será que se le llama así? A estas alturas ya lo sabrás, ¿verdad?


2¹,2²,2³,2⁴,2⁵...

Ahora supongamos que tenemos 5 bombillas a las que asignamos los correspondientes valores de la serie de forma que:

la 1ªbombilla vale 1

la 2ªbombilla vale 2

la 3ª bombilla vale  4

la  4ª bombilla vale 8

la 5ª bombilla vale 16

Suponiendo que vamos a utilizar el valor 1 cuando está encendida y 0 cuando está apagada, cómo representarías con ceros y unos el número 4? ¿Y el 2? ¿Y el 11? ¿Y el 28?




¿Se te ocurre una forma más sencilla de pasar cualquier número  a binario?




Aquí está la solución:


Podrías inventar un código asignando a cada número un símbolo, por ejemplo con las letras del abecedario. ¿Serías capaz de escribir tu nombre sólo con unos y ceros? Inténtalo. 
¿Podrías inventar un código propio? Propónle a un amigo o un familiar que invente otro código.
Después intentad descifrarlos. Es todo un reto.

¿Y para qué sirve el sistema binario?¿Qué tiene que ver con la tecnología? Adrián Paenza te lo explicará todo y paso a paso en el programa "alterados por pi" del canal encuentro de la televisión Argentina:




Os preguntaréis qué tiene que ver todo esto con las TARJETAS BINARIAS. Pues mucho, pero con lo aprendido hasta ahora lo habrás de encontrar tú. Recuerda el juego y fíjate bien:

Nos pedían que pensaramos un número del 1 al 50, y que seleccionáramos las tarjetas en las que aparecía dicho número. ¿Observas algo en las tarjetas? ¿Cómo lo habrán adivinado? ¿Mágia? NO, MATEMÁTICAS.



¿YA LO TIENES? ¿Te doy otra pista? Escribe el número pensado en el sistema binario, es decir, en base2.

Sí, realmente lo que ha hecho es sumar los primeros valores de las tarjetas que contienen el número pensado,  pero ¿Por qué? ¿De qué forma habrá confeccionado las tarjetas para ello?

Por ejemplo, pensamos el 30, que en binario sería:

1 2 4 8 16  
0 1 1 1  1     (el 1 lo ponemos en esas posiciones porque 2+4+8+16=30)
invertimos y obtenemos el número binario 11110

30:2=15 y resto 0
15:2=7   y resto 1
7:2=3     y resto 1
3:2=   1  y resto 1....así tenemos 01111
Invertimos y obtenemos el número binario: 11110

La última cifra es 0, por tanto el número pensado no aparecerá en la 1ª tarjeta.
La penúltima cifra es 1, por tanto el número sí aparecerá en la 2ª tarjeta.
El resto de cifras valen también 1, por tanto, el número también aparecerá en la 3ª, 4ª y 5ª tarjeta.

En conclusión:
La suma de estos valores equivale a escribir el número en binario.
Observando el número pensado en sistema binario deducimos lo siguiente:
Si el número contiene un 1 en la última cifra, este número estará en la primera tarjeta, y si la penúltima cifra contiene un 1, el número aparecerá en la segunda tarjeta. Y así sucesivamente.
Así que cada cifra de la representación binaria del número tiene asignada tan solo una tarjeta.

Y entonces, ¿Cómo habrán colocado exactamente los números en las distintas tarjetas? Con las pistas que ya te hemos dado intenta confeccionar las tarjetas sin mirar.




Para saber cómo repartir los números, basta con que escribamos el número en base 2.



Pincha en el siguiente enlace para visualizar en flash el funcionamiento de la Pascalina




La máquina de Pascal se utilizaba para sumar y funcionaba por un mecanismo de ruedas que representaban las unidades, las decenas, las centenas…
Las ruedas tenían sobre su circunferencia escritos números del 0 al 9. 
Cada vez que una rueda pasa de la posición 9 en la posición 0, la rueda inmediatamente a su izquierda, se mueve una posición.
Cuando una rueda daba una vuelta completa, se sumaba una unidad a la izquierda de esta rueda formando las decenas, centenas...
La máquina de Pascal tenía 8 ruedas, seis para representar los números enteros y dos para los decimales. Se podían manejar números entre 0.01 y 999,999.99. 
Para sumar o restar, se hacía girar las ruedas dentadas accionando una manivela.
Cuenta con un listado de un mecanismo para hacer la suma, resta, multiplicación y división.

La máquina de Pascal tiene dos sistemas de visualización.
La resta se hace utilizando el complemento a 9, como vemos en el siguiente ejemplo: 

Para calcular 146-65
completamos cada dígito del primer número 9 y 146 da 853
se añade luego a 853, la . segundo número: 65 
853 y + 65 = 918. 
Después, simplemente completar cada dígito del resultado a 9 para obtener el resultado requerido: 081
En efecto 
146-65 = 999 - (999 a 146 + 65)
= 999 - (999 -146 + 65) 
= 999 - (853 + 65) 
= 999-918 
= 081 

La multiplicación se realiza mediante adiciones sucesivas y la división utilizando sustracciones sucesivas.


EL PRIMER ORDENADOR: LA MÁQUINA ENIGMA 

¿Has visto ya la película "The Imitation Game" ("Descifrando Enigma")? Te la recomiendo para conocer la vida del gran precursor de nuestros ordenadores, el matemático Alan Turing, famoso por haber descifrado los códigos secretos nazis contenidos en la máquina Enigma, lo cual determinó el devenir de la II Guerra Mundial (1939-1945) en favor de los Aliados. Conocer la máquina enigma te fascinará. Te entrarán unas ganas locas de hacer y descifrar códigos.

Para los matemáticos más curiosos aquí os dejo un vídeo y la explicación detallada del funcionamiento de LA MÁQUINA ENIGMA:



La máquina Enigma consistía en un teclado de máquina de escribir con las correspondientes letras del alfabeto, un dispositivo (modificador) que realizaba la codificación, y un tablero de luces donde se indicaba el texto ya cifrado. De tal manera que el operador tecleaba una letra del texto, y veía como se iluminaba otra letra del tablero de luces, que era la correspondiente letra del texto cifrado, que apuntaba para su posterior transmisión, y así con todas las letras del texto. El modificador o rotor consiste en una ruleta o cilindro con 26 cables y está conectado al teclado por 26 puntos, uno por cada letra, y que cada cable daba una serie de vueltas hasta salir por otro punto conectado al tablero de luces, iluminando una letra (siempre distinta a las tecleada, otras 26). Dependiendo de la posición del modificador (según por que cable entra la pulsación de la tecla) Enigma ofrecía 26 posibles claves, ya que el modificador podía ser girado a mano por el operador, puesto que tenía grabado los números del 1 al 26 en una ruleta dentada. Así, poniendo el modificador en una posición dada, el operador elegía la clave con la que iba a cifrar el mensaje (posición que debía saber el receptor, pero el uso real de Enigma se explica más adelante.




De esta forma, al principio Enigma únicamente sustituía una letra por otra, según el recorrido del cable del modificador, siendo fácil de descifrar probando una a una las 26 posibles claves. Por eso después hizo que el modificador girara un veintiseisavo de vuelta después de cada pulsación, de tal manera que cambiaba las posiciones de los cables en los puntos de entrada del teclado y en los de salida al tablero de luces. Con esto consiguió que con cada pulsación y el correspondiente giro del modificador, se cambiara de alfabeto de cifrado (cada alfabeto de cifrado viene dado por la posición de los cables en el modificador en el momento de la entrada de la señal del teclado), y así hasta 26 alfabetos para cifrar, de tal manera que por ejemplo, teclear AA daba FT (sin el giro, habría dado FF), momento que comenzaba el cifrado como en la primera pulsación. Al proporcionar 26 claves (alfabetos) que se iban turnando a cada pulsación automáticamente, aumentó la seguridad, aunque seguía siendo un sistema débil. 
Así que añadió otros 2 modificadores conectados uno a otro, de tal manera que el segundo modificador sólo daba un giro cuando el primero había completado sus 26 giros, y el tercero daba un giro cuando el segundo daba sus correspondientes 26 giros. Es algo parecido al funcionamiento del segundero, minutero y aguja horaria de un reloj. De tal manera que...TODA LA EXPLICACIÓN DETALLADA EN POR TIERRA MAR Y AIRE


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